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关于“时间常数”那点事 [复制链接]

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发表于 2009-6-17 08:09:06 |显示全部楼层
关键词: 时间常数
先声明:所有理论基础都有出处,在此不加证明。说实在,数学那玩意儿不是那么容易从根上加以证明的。就那微积分来说,若不能彻底弄明白“实数”是啥东西,基本上说所作证明都是徒劳。而要彻底玩转《实数论》本身就不是一件容易的事情。

好了言归正传,让我们一步步地来分析关于“时间常数”那点事。

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发表于 2009-6-17 08:19:06 |显示全部楼层
本帖最后由 HWM 于 2009-6-18 09:49 编辑

先给出电阻,电容,电感和电源在S域(拉普拉斯变换)中的表达方式(在电压回路方程中):

电阻:I R
电容:I  / (C S) + U0 / S
电感:I L S - L I0
电源:U / S

其中,I 为电流的S域函数,U 为电源电压,U0 为电容上的初始电压,I0 为电感上的初始电流。
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发表于 2009-6-17 08:24:22 |显示全部楼层
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 08:38 编辑

现在分两种情况分析:

一,容感上的初始电压和电流为零(即初始条件为零),且回路由理想电压源激励。


1) 阻容回路

S域方程:

I R + I / (C S) = U / S

其中I为回路电流的S域函数(拉普拉斯变换),U为所加电源电压。

由上式解得

I = U C / (R C S + 1)

电容上电压的S域函数为

Uc = U / S - I R
   = U / S - U R C / (R C S + 1)
   = U / (S (R C S + 1))


2) 阻感回路

S域方程:

I R + I L S = U / S

其中I为回路电流的S域函数(拉普拉斯变换),U为所加电源电压。

由上式解得

I = (U / R) / (S ((L / R) S + 1))

此便是电感上电流的S域函数。


3) 综合分析

由上可见,其有一个统一的S域函数形式:

A / (S (T S + 1))

其中:T为时间常数,A为最终极限值

对于阻容回路而言,T = R C,A = U (考虑的是电压)

而对于阻感回路而言,T = L / R,A = U / R (考虑的是电流)

至于S域函数 A / (S (T S + 1)) 的时域函数,由下表(拉氏逆变换):

A (1 - e^(-t/T))

即对于阻容回路有:

U(t) = U (1 - e^(-t/(RC)))

而对于阻感回路有:

I(t) = (U / R) (1 - e^(-t/(L/C)))
yewuyi (离线)
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发表于 2009-6-17 08:31:14 |显示全部楼层
呵呵,都像HWM老师这么讲课,还怕有学生听不懂吗?
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发表于 2009-6-17 08:37:27 |显示全部楼层
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:21 编辑

二,容感上的初始电压和电流为非零(即初始条件为非零),且回路无激励(短路)。


1) 阻容回路

S域方程:

I R + I / (C S) + U0 / S = 0

其中I为回路电流的S域函数(拉普拉斯变换),U0为电容上的初始电压。

由上式解得

I = - (U0 / R) / (S + 1 / (R C))

电容上电压的S域函数为

Uc = - I R
   = U0 / (S + 1 / (R C))


2) 阻感回路

S域方程:

I R + I L S - L I0 = 0

其中I为回路电流的S域函数(拉普拉斯变换),I0为电感上的初始电流。

由上式解得

I = I0 / (S + R / L)

此便是电感上电流的S域函数。


3) 综合分析

由上可见,其有一个统一的S域函数形式:

A / (S + 1 / T)

其中:T为时间常数,A为初始值

对于阻容回路而言,T = R C,A = U0 (考虑的是电压)

而对于阻感回路而言,T = L / R,A = I0 (考虑的是电流)

至于S域函数 A / (S + 1 / T) 的时域函数,由下表(拉氏逆变换):

A e^(-t/T))

即对于阻容回路有:

U(t) =  U0 e^(-t/(R C)))

而对于阻感回路有:

I(t) = I0 e^(-t/(L/C))

由此可见,所谓时间常数只是当某物理量变到它的终极值1-1/e(增大)或初始值1/e(减小)倍时所需要的时间。
sunny0203050 (离线)
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发表于 2009-6-17 08:40:57 |显示全部楼层
S域我已经很久没看了!前辈讲的我有点晕,留个记号以后用时在翻书看看
我就是我呵呵!许世霞!
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发表于 2009-6-17 08:49:08 |显示全部楼层
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:04 编辑

最后看一下单谐信号激励的情形(采用富氏变换):

一,对于阻容回路来说,可列出下式

Uc  = U Zc / (R + Zc)
      = U / (1 + j ω R C)

二,对于阻感回路来说,可列出下式

Il = U / Z
   = U / (R + j ω L)
   = (U / R) (1 + j ω L / R)

由上可知,当频率分别为 1 / (R C) 和 R / L 时,Uc 和 Il 分别为其“截止点”,即 1 / (R C) 和 R / L 分别为相应回路的截止频率。这便是所谓“时间常数”的真正价值所在——“截止周期”。
gaohq (离线)
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发表于 2009-6-17 09:01:55 |显示全部楼层
受教了,谢谢HWM老师.
sz_kd (离线)
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发表于 2009-6-17 09:16:37 |显示全部楼层
呵呵,的确一些数学变换知识忘了,在学校的时候这些信号与系统知识都不在话下~~~~~~~~~~
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wb61850 (离线)
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发表于 2009-6-17 09:49:40 |显示全部楼层
HWM老师好!
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wb61850 (离线)
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发表于 2009-6-17 09:51:43 |显示全部楼层
俺想,诸多变幻会把人搞糊涂。
时间会倒流吗
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qupeng2008 (离线)
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发表于 2009-6-17 09:57:05 |显示全部楼层
俺理论,时间被超越就倒流了。。
有点可怕~
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发表于 2009-6-17 10:07:46 |显示全部楼层
呵呵,爱因斯坦就是不小心玩了一下洛伦兹变换,便差点把时间倒流回去。
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发表于 2009-6-17 10:33:26 |显示全部楼层
HWM果然理论强,把拉普拉斯和FFT变换拉进来了,把俺吓得两腿发软啊,大家请安静,静静,要专心听HWM老师授课,哪位还没有交学费的赶快补交!
一朝成名 (离线)
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发表于 2009-6-17 10:42:13 |显示全部楼层
听HWM老师讲课
那个学生在HWM门下,那就幸福死了
网名招摇了点,人不招摇,大家都知道:)
chunk (离线)
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发表于 2009-6-17 10:49:04 |显示全部楼层
回“夜无衣”:还真听不懂。

本来看楼主贴鼓起点勇气,再一看沙发贴:“先给出电阻,电容,电感和电源在S域(拉普拉斯变换)中的表达方式”,一下气就泄了。括弧里面只有6个字,对我这种底子极薄的菜鸟意味着什么呢?我个人的知识体系是支离破碎的,而且“基础知识”体系就是破碎的。
HWM (离线)
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发表于 2009-6-17 11:17:36 |显示全部楼层
回 16 楼:

不好意识,俺的分析让你疑惑了。

其实拉普拉斯变换是电路分析中的基础,虽然人们一般都推崇基氏的方程。但要知道,电路分析在时域上的直接应用是相当有限的,因为其直接要和微分方程打交道,那是相当困难的事情且不“直观”。若没有各类变换,电路分析(包括信号分析)决不会发展到现今的水准。因此建议,作为基础,必须熟悉拉普拉斯变换。此外还有其衍生品——傅立叶变换(对于周波还有傅立叶级数展开)。

拉普拉斯变换并不难,其有许多相当漂亮的特性(篇幅有限不可能意义展开),而且S域上面的基氏方程是线性代数方程,方便求解。

总之,要了解“基础”,学好“基础”,这样才能得到更好的发展。
宇宙飞船 (离线)
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发表于 2009-6-17 13:42:20 |显示全部楼层
精通拉普拉斯变换必需先精通微积分原理,HWM老师高深莫测!晕啊!
fxhfxh (离线)
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发表于 2009-6-17 17:10:48 |显示全部楼层
记号。
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发表于 2009-6-17 20:00:45 |显示全部楼层
这些东西刚学没多久
无奈所有与高数沾边的,俺都晕,这变换那变换的,都晕
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