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发表于 2011-3-15 11:39:14
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基本定义
如果定义:
* f(t)\,是一个关于t\,的函数,使得当t<0\,时候,f(t)=0\,;
* s\, 是一个复变量;
* \mathcal{L} 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dt;F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯变换结果。
则f(t)\,的拉普拉斯变换由下列式子给出:
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 双边拉普拉斯变换
除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外,双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域:
F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt
[编辑] 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换,是已知F(s)\,,求解f(t)\,的过程。用符号 \mathcal{L}^{-1}\,表示。
拉普拉斯逆变换的公式是:
对于所有的t>0\,;
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds
c\,是收敛区间的横座標值,是一个实常数且直线Re(s) = c处在F(s)的收敛域内。
[编辑] 拉普拉斯变换的存在性
主条目:拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是片断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。
[编辑] 拉普拉斯变换的基本性质
* 线性叠加
\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
* 微分
\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
* 时域
\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)
* 频域
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1
* 积分
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}
* 初始值定理
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}
* 终值定理
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ,所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现,且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面,那么系统的终值是不定义的(例如:e^t\, 或 \sin(t)\,)。
* s 移动
\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)
* t 移动
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示阶跃函数.
* n次幂移动
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]
* 乘积
\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ ,c\,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(\sigma)\,的个别点的实部值。
* 卷积
\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}
[编辑] 变换简表
原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} 转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} 收敛区域
\delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
\sqrt[n]{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
[编辑] 与其他变换的联系
* 与傅里叶变换关系
令s = iω or s = 2πfi, 有:
\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}
* 与z变换的联系
z 变换表达式为:
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}
其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有:
X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.
[编辑] 在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性,系统稳定有着重大意义;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应用。 |
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