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楼主: HWM

关于“时间常数”那点事

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发表于 2009-6-19 11:36:49 | 显示全部楼层
晕!老夫一口气写了这么多,才学了这么一点东西?
HWM 教授就开个价,多多钱俺都出得起,只要教授能帮俺解开以上的凝团!
发表于 2009-6-19 12:00:12 | 显示全部楼层
发表于 半小时前 | 只看该作者 本帖最后由 粉丝 于 2009-6-19 11:13 编辑
HWM教授级的理论的确是强,不得不佩服!
能否帮大家解释一下以下数学符号的逻辑意义?
(-a)*(-a)=a^2                     
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c   
a/b =a*(1/b)     
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m)   //sqrt(n) 开根号n 次方 .
//----------------------------------------------------------------
佩服一下粉丝这种钻牛角尖的精神。
发表于 2009-6-19 15:01:55 | 显示全部楼层
呵呵,粉丝提出的问题都是小学生应撑握的技俩!教授们当然不稍一顾了。
哪位自认为是精通微积分的,大可解释一下?俺来帮你们打分,看看谁有数学潜质!
发表于 2009-6-19 21:37:14 | 显示全部楼层
看来不懂装懂的人还是挺多的!粉丝那几道看似简单的题目,已经包含了初等代数的所有基础,也是精通微积分的必备基础,想自学精通微积分的,好好把它惨悟透。
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俺最喜欢李白的一句话:
黄河之水天上来,奔流到海不复回。
哈哈哈。。。。。
发表于 2009-6-20 00:38:58 | 显示全部楼层
看来还是不考大学好,免得白交学费呀!
发表于 2010-12-19 15:43:59 | 显示全部楼层
这个嘛,能看懂最好,,最好是硕士看
发表于 2011-2-7 22:41:22 | 显示全部楼层
唉~
发表于 2011-2-7 22:42:27 | 显示全部楼层
唉~
发表于 2011-2-25 23:13:38 | 显示全部楼层
牛人。。。。。。。。
发表于 2011-3-15 11:39:14 | 显示全部楼层
基本定义

如果定义:

    * f(t)\,是一个关于t\,的函数,使得当t<0\,时候,f(t)=0\,;
    * s\, 是一个复变量;
    * \mathcal{L} 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dt;F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯变换结果。

则f(t)\,的拉普拉斯变换由下列式子给出:

    F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

[编辑] 双边拉普拉斯变换

除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外,双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域:

    F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

[编辑] 拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换,是已知F(s)\,,求解f(t)\,的过程。用符号 \mathcal{L}^{-1}\,表示。

拉普拉斯逆变换的公式是:

    对于所有的t>0\,;
    f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds

c\,是收敛区间的横座標值,是一个实常数且直线Re(s) = c处在F(s)的收敛域内。
[编辑] 拉普拉斯变换的存在性

    主条目:拉普拉斯变换的存在性

关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是片断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。


[编辑] 拉普拉斯变换的基本性质

    * 线性叠加

    \mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

    * 微分

    \mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
    \mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
    \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)

    * 时域

    \mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)

    * 频域

    \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
    \mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1

    * 积分

    \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

    * 初始值定理

    f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}

    * 终值定理

    f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ,所有极点都在左半复平面。
    终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现,且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面,那么系统的终值是不定义的(例如:e^t\, 或 \sin(t)\,)。

    * s 移动

    \mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
    \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)

    * t 移动

    \mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
    \mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
    注: u(t)\, 表示阶跃函数.

    * n次幂移动

    \mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]

    * 乘积

    \mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \  ,c\,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(\sigma)\,的个别点的实部值。

    * 卷积

    \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

[编辑] 变换简表
原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}         转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}         收敛区域
\delta(t) \         1 \         \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \         e^{-\tau s} \          
u(t) \         { 1 \over s }         s > 0 \,
u(t-\tau) \         { e^{-\tau s} \over s }         s > 0 \,
t \cdot u(t)\         \frac{1}{s^2}         s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \         { 1 \over s+\alpha }         s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \         \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}         s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \         { \omega \over s^2 + \omega^2 }         s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \         { s \over s^2 + \omega^2 }         s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \         { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }         s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \         { s \over s^2 - \alpha^2 }         s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \         { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }         s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \         { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }         s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t)         { 1 \over s^{n+1} }         s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)         \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}         s > - \alpha \,
\sqrt[n]{t} \cdot u(t)         s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)         s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)         - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]         s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t)         \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}         s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t)         \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}         s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t)         -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}         s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)                    
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)         {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}         s > 0 \,
[编辑] 与其他变换的联系

    * 与傅里叶变换关系

令s = iω or s = 2πfi, 有:

    \begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}

    * 与z变换的联系

z 变换表达式为:

    X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.


[编辑] 在工程学上的应用

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性,系统稳定有着重大意义;在线性系统,控制自动化上都有广泛的应用。
发表于 2011-3-15 11:52:50 | 显示全部楼层
刚刚在文档里面复制出来的好像有些问题,在这里贴上PDF档。希望能对大家有所帮助

拉普拉斯变换.pdf

231.98 KB, 下载积分: 积分 -1

发表于 2011-3-17 08:42:39 | 显示全部楼层
太深奥了。
发表于 2013-10-28 08:01:29 | 显示全部楼层
全部复制下来!!!!!!!!!我自己好好学习!!!!!!!!!!!!!!!
谢谢.jpg
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